Số 214+215_Tiếp theo | Tháng 01+02_Tiếp Theo
Khúc dạo đầu cho số liệu thống kê trong không gian số liệu Wasserstein
Lê Văn Chơn, Phạm Hoàng Uyên
Tóm tắt:
Mục đích – Bài viết này chủ yếu nhằm mục đích giới thiệu tới nhà thống kê và kinh tế lượng ứng dụng phương pháp nghiên cứu hiện tại với các bộ dữ liệu phi Euclide. Cụ thể, nó cung cấp cơ sở lý luận cho số liệu thống kê trong không gian Wasserstein, trong đó thước đo về các thước đo xác suất được lấy làm thước đo Wasserstein phát sinh từ lý thuyết vận chuyển tối ưu.
Thiết kế/phương pháp/cách tiếp cận – Các tác giả nêu rõ cơ sở và lý do hợp lý cho việc sử dụng số liệu Wasserstein trên không gian dữ liệu của các thước đo xác suất (ngẫu nhiên).
Những phát hiện mới – Khi xây dựng phân tích thống kê mới về các tập dữ liệu phi Euclide, bài viết minh họa sự khái quát hóa các khía cạnh truyền thống của suy luận thống kê theo chương trình của Frechet.
Tính mới / giá trị nguyên bản – Bên cạnh việc xây dựng phương pháp nghiên cứu để phân tích dữ liệu mới, bài viết còn thảo luận về ứng dụng của số liệu Wasserstein đối với sự chắc chắn của các biện pháp đo lường rủi ro tài chính.
Tài liệu tham khảo:
- Artstein, Z. and Wets, R.J.B. (1995), “Consistency of minimizers and the SLLN for stochastic programs”, Journal Convex Analysis, Vol. 2 No. 1, pp. 1-17.
- Bernton, E., Jacob, P.E., Gerber, M. and Robert, C.P. (2019), “On parameter estimation with the Wasserstein distance”, Information and Inference: A Journal of the IMA, Vol. 8 No. 4, pp. 657-676.
- Bhat, S.P. and Prashanth, L.A. (2019), “Concentration of risk measures: a Wasserstein distance approach”, Proceedings of the 33rd International Conference on Neural Information Processing Systems.
- Bigot, J. (2020), “Statistical data analysis in the Wasserstein space”, ESAIM: Proceedings and Surveys, Vol. 68, pp. 1-19, doi: 10.1051/proc/202068001.
- Billingsley, P. (1995), Probability and Measure, John Wiley & Sons, New York.
- Breiman, L. (2001), “Statistical modeling: the two cultures”, Statistical Science, Vol. 16 No. 3, pp. 199-215, doi: 10.1214/ss/1009213726.
- Chartier, B. (2013), “Necessary and sufficient condition for the existence of a Frechet mean on the circle”, ESAIM: Probability and Statistics, Vol. 17, pp. 635-649, doi: 10.1051/ps/2012015.
- Dobrushin, R.L. (1970), “Prescribing a system of random variables by conditional distributions”, Theory of Probability and Its Applications, Vol. XV No. 3, pp. 458-486, doi: 10.1137/1115049.
- Frechet, M. (1906), “Sur quelque poins du calcul fonctionel”, Thesis, 1906, Rend. Circ. Matem. Palermo (XXII), Paris.
- Frechet, M. (1948), “Les elements aleatoires de nature quelconque dans un espace distancé”, in Annales de l'institut Henri Poincaré, Vol. 10, pp. 215-310.
- Frechet, M. (1956), “Sur les tableaux de correlation dont les marges sont donne’es”, in Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Paris, (242), pp. 2426-2428.
- Frechet, M. (1957), “Sur la distance de deux lois de probabilite”, in Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Paris, (244), pp. 689-692.
- Kiesel, R., Ruhlicke, R., Stahl, G. and Zheng, J. (2016), “The Wasserstein metric and robustness in risk management”, Risk, Vol. 4 No. 4, p. 32, doi: 10.3390/risks4030032.
- Levy, P. (1937), Theorie de ’l”Addition des Variables Aleatoires, Gauthier-Villars, Paris.
- Mallows, C. (1972), “A note on asymptotic joint normality”, The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 43 No. 2, pp. 508-515, doi: 10.1214/aoms/1177692631.
- Morizet, N. (2020), “Introduction to generative adversarial Networks”, Technical report, Advestis, hal-02899937.
- Panaretos, V.M. and Zemel, Y. (2020), An Invitation to Statistics in Wasserstein Space, Springer.
- Parthasarathy, K.R. (1967), Probability Measures on Metric Spaces, Academic Press, New York.
- Shalev-Shwartz, S. and Ben-David, S. (2014), Understanding Machine Learning: From Theory to Algorithms, Cambridge University Press, New York.
- Shorack, G.R. and Wellner, J.A. (1986), Empirical Processes with Applications to Statistics, John Wiley & Sons, New York.
- Vallender, S.S. (1973), “Calculation of the Wasserstein distance between distributions on the line”, Theory of Probability and Its Applications Vol. 18, pp. 784-786.
- Vassershtein, L.N. (1969), “Markov process over denumbrable product of spaces describing large systems of automata”, Problems of Information Transmission, Vol. 5 No. 3, pp. 47-52.
- Villani, C. (2003), Topics in Optimal Transportation, American Mathematical Society.
A Prelude to Statistics in Wasserstein Metric Spaces
Abstract:
Purpose – This paper aims mainly at introducing applied statisticians and econometricians to the current research methodology with non-Euclidean data sets. Specifically, it provides the basis and rationale for statistics in Wasserstein space, where the metric on probability measures is taken as a Wasserstein metric arising from optimal transport theory.
Design/methodology/approach – The authors spell out the basis and rationale for using Wasserstein metrics on the data space of (random) probability measures.
Findings – In elaborating the new statistical analysis of non-Euclidean data sets, the paper illustrates the generalization of traditional aspects of statistical inference following Frechet's program.
Originality/value – Besides the elaboration of research methodology for a new data analysis, the paper discusses the applications of Wasserstein metrics to the robustness of financial risk measures.